Algèbre

EXALG135

FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2003.

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Solution proposée par Hugues Vermeiren

Il existe, essentiellement, deux méthodes pour discuter les systèmes paramétriques.
  1. Méthode des déterminants
    1. Le déterminant principal est:
      En appliquant les combinaisons de colonnes \(C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3\)
      et ensuite \(C_2\leftarrow C_2-C_1\) et \(C_3\leftarrow C_3-C_1\).
      \[ \Delta= \begin{vmatrix} m&1&1\\ 1&m&1\\ 1&1&m \end{vmatrix} = (m+2)\cdot \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&m&1\\ 1&1&m \end{vmatrix} = (m+2)\cdot \begin{vmatrix} 1&0&0\\ 1&m-1&0\\ 1&0&m-1 \end{vmatrix} \] \[ \Delta=(m+2)\cdot(m-1)^2 \]
    2. Le déterminant \(\Delta_x\), obtenu en remplaçant la colonne \(C_1\) de \(\Delta\) par la colonne des termes indépendants, est : \[ \Delta_x= \begin{vmatrix} 1&1&1\\ m&m&1\\ m^2&1&m \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&1\\ m&0&1\\ m^2&1-m^2&m \end{vmatrix} = -(1-m^2)\cdot\begin{vmatrix}1&1\\m&1\end{vmatrix}= -(1-m)^2\cdot(1+m) \]
    3. De même: \[ \Delta_y= \begin{vmatrix} m&1&1\\1&m&1\\1&m^2&m \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} m&1-m&1\\ 1&m-1&1\\ 1&m^2-1&m \end{vmatrix}= (m-1)\cdot \begin{vmatrix} m&-1&1\\ 1&1&1\\ 1&m+1&m \end{vmatrix} \] \[ \Delta_y= (m-1) \begin{vmatrix} m&-1-m&1-m\\ 1&0&0\\ 1&m&m-1 \end{vmatrix}= (m-1)^2\cdot(-1)\cdot \begin{vmatrix} -1-m & -1 \\ m & 1 \end{vmatrix}= (m-1)^2 \]
    4. Et enfin... \[ \Delta_z= \begin{vmatrix} m&1&1\\1&m&m\\1&1&m^2 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} m&0&1\\1&0&m\\1&1-m^2&m^2 \end{vmatrix}= -(1-m^2)\cdot\begin{vmatrix}m&1\\1&m\end{vmatrix}=(1+m)^2\cdot(1-m)^2 \]
    5. Le déterminant principal est non nul si et seulement si \(m\ne -2\) et \(m\ne 1\).
      • Dans ce cas la solution est unique et est :
        • \( \displaystyle x =\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-(1-m)^2\,(1+m)}{(m+2)\,(m-1)^2}=\frac{-(1+m)}{m+2}\),

        • \( \displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{(m-1)^2}{(m+2)\,(m-1)^2}=\frac{1}{m+2}\),

        • \(\displaystyle z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{(1+m)^2\cdot(1-m)^2}{(m+2)\,(m-1)^2}=\frac{(m+1)^2}{m+2}\).

      • Si \(m=-2\), le système est impossible.
      • Si \(m=1\), le système est doublement indéterminé. \[ x=\lambda\quad ,\quad y=\mu\quad\text{et}\quad z=1-\lambda-\mu\ . \]

  2. Méthode de Gauss

    \( \left\{ \begin{array}{rcrcrcr} m\,x&+&y&+&z&=&1\hphantom{^2}\\ x&+&m\,y&+&z&=&m\hphantom{^2}\\ x&+&y&+&m\,z&=&m^2 \end{array} \right. \)

    \(L_1\longleftarrow L_1-m\cdot L_3\)    Cette combinaison linéaire est légitime quel que soit \(m\))

    \( \left\{ \begin{array}{rcrcrcr} &&(1-m)\,y&+&(1-m^2)\,z&=&1-m^3\\ x&+&m\,y&+&z&=&m\hphantom{^2}\\ x&+&y&+&m\,z&=&m^2 \end{array} \right. \)

    \( L_2\longleftarrow L_2-L_3 \)

    \( \left\{ \begin{array}{rcrcrcr} &&(1-m)\,y&+&(1-m^2)\,z&=&1-m^3\\ &+&(m-1)\,y&+&(1-m)\,z&=&m\,(1-m)\hphantom{^2}\\ x+&&y&+&m\,z&=&m^2 \end{array} \right. \)




Modifié le 14 janvier 2016 (Hugues Vermeiren)