Algèbre

EXALG514

POL, ERM, Bruxelles, 2008

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Solution proposée par Hugues Vermeiren



Soit \(D(x)=x^2+p\,x+q\) le polynôme divisant \(P(x)\) et \(Q(x)\).
\(P(x)\) et \(Q(x)\) doivent alors se factoriser de la manière suivante: \[ \left\{ \begin{array}{l} P(x)=x^3+a\,x^2-14\,x+12=(x+k)\cdot(x^2+p\,x+q)\\ Q(x)=x^3+b\,x^2+10\,x-24=(x+l)\cdot(x^2+p\,x+q)\\ \end{array} \right. \] C'est à dire \[ \left\{ \begin{array}{l} x^3+a\,x^2-14\,x+12=x^3+(p+k)x^2+(q+k\,p)x+q\,k\\ x^3+b\,x^2+10\,x-24=x^3+(p+l)x^2+(q+l\,p)x+q\,l\\ \end{array} \right. \] où \(k,l,q\) sont non nuls puisque \(P(0)\ne 0\) et \(Q(0)\ne 0\).

Par identification des coefficients des termes de même degré on obtient \(2\times 3\) équations \[ \left\{ \begin{array}{l c} p+k=a & L_1\\ q+k\,p=-14 & L_2\\ q\,k=12 & L_3 \end{array} \right. \quad \quad \left\{ \begin{array}{l c} p+l=b & L_4\\ q+l\,p=10 & L_5\\ q\,l=-24 & L_6 \end{array} \right. \] L'ensemble constitue un système non linéaire à 6 équations, 6 inconnues...

Conclusion: Le polynôme du second degré divisant \(P(x)\) et \(Q(x)\) est \[ D(x)=x^2+4x-6\quad\text{dont les racines sont}\quad x_{1,2}=-2\pm\sqrt{10} \] De plus, \[ \begin{array}{l} P(x)=x^3+2x^2-14x+12=(x-2)\cdot(x^2+4x-6)\\ Q(x)=x^3+8x^3+10x-24=(x+4)\cdot(x^2+4x-6) \end{array} \]

Accessoirement, on a obtenu les racines des polynômes \(P(x)\) et \(Q(x)\).




Le 6 octobre 2015.