Algèbre

EXALG515

POL, ERM, Bruxelles, 2005

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Solution proposée par Hugues Vermeiren



  1. La matrice \(C\) est inversible car son déterminant vaut \(\mathrm{det}\,C=4\times4\times 1=16\).
    L'égalité \(\left( A+a\,I_3\right)\cdot B = b\cdot C^{-1}\) est donc équivalente à \(\left( A+a\,I_3\right)\cdot B\cdot C = b\cdot I_3\). (Ceci permet d'éviter le calcul de \(C^{-1}\))
    On doit donc avoir, le second facteur du premier membre étant le produit \(B\cdot C\ \): \[ \begin{pmatrix} 2+a&2&2\\ 0&4+a&0\\ 3&-3&1+a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2&2&2\\ 0&4&0\\ 3&-3&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b&0&0\\ 0&b&0\\ 0&0&b \end{pmatrix} \] ou encore \[ \begin{pmatrix} 10+2a&6+2a&6+2a\\ 0&16+4a&0\\ 9+3a&-9-3a&7+a\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b&0&0\\ 0&b&0\\ 0&0&b \end{pmatrix} \quad(E_1) \] Si les \(m_{ij}\) désignent les coefficients de la matrice du membre de gauche:

    On vérifie alors sans peine que ces valeurs de \(a\) et de \(b\) sont compatibles avec l'égalité matricielle \(E_1\).

  2. Calcul de la matrice inverse de \(A\).



Le 7 octobre 2015.