Algèbre

EXALG521

FACS, ULB, Bruxelles, septembre 2015

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Solution proposée par Hugues Vermeiren



  1. Développons le déterminant de \(A_k\), directement, selon la première colonne:
    \begin{align} \det(A_k)&=1\cdot(-e-1)- e^k\cdot\left(e^{-k}-e^{-3k}\right)+e^{2k}\cdot\left(1+e^{1-2k}\right)\\ &=e^{2k}+e^{-2k}-2\\ &=\left(e^k-e^{-k}\right)^2 \end{align} \( \det(A_k)=0\iff e^k=e^{-k} \iff k=0 \)
    La matrice \(A_k\) est inversible si et seulement si \(k\) est non nul.

  2. Calculons les éléments de l'inverse de la matrice \( A_{\ln 2}= \begin{pmatrix} 1&\frac12&\frac14\\ 2&-e&2\\ 4&\frac12&1 \end{pmatrix} \)
    Méthode de Gauss:

    \( \left\{ \begin{array}{r c r c r c r} x&+&\frac12\,y&+&\frac14\,z&=&x'\\ 2\,x&-&e\,y&+&2\,z&=&y'\\ 4\,x&+&\frac12\,y&+&z&=&z' \end{array} \right. \)   Exprimons les \(x,y,z\) linéairement en fonction des \(x',y',z'\).

    \(L_3\longleftarrow L_3-L_1\) et \(L_2\longleftarrow \frac12\,L_2+e\,L_1\) fournissent:

    \( \left\{ \begin{array}{r c r c r c r} x&+&\frac12\,y&+&\frac14\,z&=&x'\\ (1+e)\,x&&&+&(1+\frac14\,e)\,z&=&\frac12\,y'+e\,x'\\ 3&&&+&\frac34\,z&=&z'-x' \end{array} \right. \)

    \(L_3\longrightarrow (1+e)L_3-3L_2\) donne le système triangulaire (échelonné):

    \( \left\{ \begin{array}{r c r c r c r} x&+&\frac12\,y&+&\frac14\,z&=&x'\\ (1+e)\,x&&&+&(1+\frac14\,e)\,z&=&\frac12\,y'+e\,x'\\ &&&-&\frac94\,z&=&(-4e-1)\,x'-\frac32\,y'+(1+e)\,z' \end{array} \right. \)

    De là:
    • \(\displaystyle z=\frac49\,(4e+1)\,x'+\frac23\,y' -\frac49\,(1+e)\,z' \)
    • \(\displaystyle (1+e)\,x=\frac12\,y'+e\,x'-\frac{4+e}{4}\,\left(\frac49\,(4e+1)\,x'+\frac23\,y' -\frac49\,(1+e)\,z'\right) \)
      Avec un peu de courage et de patience...
      \(\displaystyle x=-\frac49\,(1+e)\,x'-\frac16\,y'+\frac{4+e}{9}\,z' \)
    • \(\displaystyle y=2\,x'-2\,x-\frac12\,z \)
      \(\displaystyle \hphantom{y}=2x'-2\left(-\frac49\,(1+e)\,x'-\frac16\,y'+\frac{4+e}{9}\,z'\right)-\frac12\left(\frac49\,(4e+1)\,x'+\frac23\,y' -\frac49\,(1+e)\,z'\right) \)
      Ce qui se simplifie en :
      \(\displaystyle y=\frac83\,x'-\frac23\,z' \)

    La matrice inverse de \(A_{\ln2}\) est finalement: \[ A_{\ln2}^{-1}= \begin{pmatrix} -\dfrac49(1+e)&-\dfrac16&\dfrac19(4+e)\\ \dfrac83&0&-\dfrac{2}{3}\\ \dfrac49(1+4e)&\dfrac23&-\dfrac49(1+e) \end{pmatrix} \]



Le 2 février 2016.