Analyse

EXANA156

EPL, UCL, Louvain, juillet 2005, série 2

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Supposons qu'il y a un barrage qui maintient un lac. Le barrage est fait de terre battue. Il y a un défaut de construction au fond du barrage. Il arrive donc un jour qu'un trou se forme au fond du barrage. Le barrage commence ensuite à se vider de plus en plus vite, à cause du trou qui s'agrandit avec le temps. Voici les variables impliquées:

Nous faisons maintenant l'hypothèse que le comportement de ce système est donné par les propriétés suivantes, qu'on suppose vraies au début de la vidange du lac 1. Le débit d'eau est proportionnel à la surface du trou. L'agrandissement de la surface du trou par unité de temps (c'est-à-dire, la dérivée) est proportionnel au débit d'eau. La surface du trou au temps initial (t = 0) est s 0>0. La diminution du volume du lac par unité de temps est donnée par le débit d'eau. Exprimez alors le volume du lac en fonction du temps.

(1) Les propriétés données ici ne correspondent pas forcément avec le comportement en réalité.


EXANA156eq01.gif

le 8 mai 2006. Modifié le 2 juillet 2008 (Alexandre Willame)