Analyse

EXANA181

Liège, juillet 2007

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On dit que deux fonctions réelles f  et g  sont orthogonales sur un intervalle [ a,b ] lorsque

EXANA181eq01.gif
  1. Pour quelles valeurs strictement positives m  et n  les fonctions j n ( x ) = sin nx  et j m ( x ) = sin mx  sont-elles orthogonales sur [-p ,p ] ? 
  2. On définit les polynômes de Legendre par
    EXANA181eq02.gif

    Ces polynômes vérifient
    EXANA181eq03.gif
     
    1. Déterminez P1 et P2 et montrez que ceux-ci sont orthogonaux sur [-1,1] 
    2. Etudiez la parité de Pn pour tout entier n > 0 
    3. Calculer EXANA181eq04.gif pour tout n > 0 
    4. Montrez que ∀ m, n ∈ ℕ
      EXANA181eq05.gif

      Et déduisez-en les valeurs entières de m  et de n  pour lesquelles Pm ( x ) et Pn ( x ) sont orthogonaux sur [-1,1]  


Solution proposée par Steve Tumson

                 EXANA181eq06.gif
  EXANA181eq07.gif
  EXANA181eq08.gif

12 juillet 2007