Analyse

EXANA213

FSA - UCL - Louvain, juillet 07 série 1

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Soit a  un paramètre réel et f  la fonction définie sur ℝ par

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Le graphe de f  est la courbe du plan définie par y = f ( x ).

  1. Calculez f ' et f '' puis dressez un tableau des variations de f contenant
    1. les racines et le signe de f, f ' et f '',
    2. les extrema et les domaines de croissance/décroissance de f,
    3. les points d'inflexion et les domaines de concavité vers le haut/bas de f.
      ( les éléments de ce tableau peuvent bien entendu dépendre de a )
  2. A l'aide de ce tableau, esquissez l'allure du graphe de f dans un repère orthonormé, en indiquant les éventuels
    1. asymptotes (dont on précisera les équations),
    2. racines (dont on précisera les abscisses),
    3. extrema (dont on précisera les abscisses et ordonnées),
    4. points d'inflexion (dont on précisera uniquement les abscisses).
      ( ces points et droites caractéristiques peuvent bien entendu dépendre du paramètre a )
  3. Calculez l'ordonnée du point du graphe de f d'abscisse x = a  puis calculez l'équation de la droite tangente au graphe en ce point. Dans le cas où le paramètre a  est égal à 2, utilisez cette équation pour calculer une valeur numérique approximative de f (2.001).
  4. En utilisant les résultats obtenus aux points (1) et (2), discutez en fonction du paramètre a  le nombre de solutions de l'équation en x

(conseil : on pourra considérer le nombre de points d'intersection du graphe de f  avec une droite bien choisie parallèle à l'axe des abscisses)



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30 janvier 2008.