Analyse

EXANA216

FSA - UCL - Louvain, juillet 07 série 1

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Soit a  un paramètre réel strictement positif et f  la fonction définie sur par

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Le graphe de f  est la courbe du plan définie par y  = f  ( x ).

  1. Calculez f ' et f '' puis dressez un tableau des variations de f  contenant
    1. les racines et le signe de f , f ' et f '',
    2. les extrema et les domaines de croissance/décroissance de f ,
    3. les points d'inflexion et les domaines de concavité vers le haut/bas de f .
      ( les éléments de ce tableau peuvent bien entendu dépendre de a )
  2. A l'aide de ce tableau, esquissez l'allure du graphe de f  dans un repère orthonormé, en indiquant les éventuels
    1. asymptotes (dont on précisera les équations),
    2. racines (dont on précisera les abscisses),
    3. extrema (dont on précisera les abscisses et ordonnées),
    4. points d'inflexion (dont on précisera uniquement les abscisses).
      ( ces points et droites caractéristiques peuvent bien entendu dépendre du paramètre a )
  3. Calculez l'équation de la droite tangente au graphe au point d'abscisse 0 puis déterminez son intersection avec la droite d'équation y  = 1.
  4. On considère à présent la restriction de la fonction f  au domaine [ 0 ∞ [. Déterminez les valeurs du paramètre a  pour lesquelles cette restriction admet une fonction réciproque, et déterminez pour ces valeurs le domaine de définition de cette fonction réciproque.


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30 janvier 2008.