Géométrie analytique dans l'espace

EXGAE002

FACSA, Ulg, Liège, juillet 2000

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Solution proposée par Hugues Vermeiren
Dans ce type de problème, on établit l'équation du plan \(\pi_1\ (\pi_2)\) passant par \(d_1\) (resp. \(d_2\)) et le point \(A\).
L'intersection de \(\pi_1\) et de \(\pi_2\) est la droite s'appuyant sur \(d_1\) et \(d_2\) et passant par \(A\).
Remarquons que le problème n'admet pas de solution si \(d_1\) et \(d_2\) sont (strictement) parallèles et \(A\notin \pi\) où \(\pi\) est le plan déterminé par \(d_1\) et \(d_2\).
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  1. Plan \(\pi_1\) déterminé par \(d_{1}\) et \(A(-1,1,2)\).
    • \(d_1\) admet comme vecteur directeur \(\vec{u}_1(2,3,5)\) qui est aussi directeur de \(\pi_1\).
    • \(d_1\) passe par \(P(1,4,2)\), donc \(\vec{u}_2=\overrightarrow{AP}\) de composantes \((2,3,0)\) est aussi directeur de \(\pi_1\).
      Toute combinaison linéaire \(\alpha\vec{u}_1+\beta\vec{u}_2\) \(\left(|\alpha|+|\beta|>0\right)\) donne un vecteur directeur de \(\pi_1\).
      \(\vec{u}_3=\frac12\left(\vec{u}_1-\vec{u}_2\right)\) de composantes \((0,0,1)\) est donc directeur de \(\pi_1\).
    • L'équation de \(\pi_1\) peut être établie par déterminant:
      \[ \pi_1\equiv \begin{vmatrix} x+1&2&0\\y-1&3&0\\z-2&0&1 \end{vmatrix} =0 \iff \boxed{\ \pi_1\equiv 3x-2y=-5\ }\,. \] \(\pi_1\) est un plan parallèle à l'axe \(Oz\) (plan "vertical").
      On peut aussi établir cette équation en partant des équations paramétriques de \(\pi_1\):
      \[ \pi_1\equiv \left\{ \begin{array}{r c l c} x&=&-1+2\lambda&(L_1)\\ y&=&1+3\lambda&(L_2)\\ z&=&2+5\lambda+\mu&(L_3) \end{array} \right. \] Le paramètre \(\mu\) n'intervient que dans \(L_3\) (\(z\) varie donc indépendamment de \(x\) et de \(y\)).
      Pour obtenir l'équation cartésienne de \(\pi_1\), il suffit donc d'éliminer \(\lambda\) de \(L_1\) et \(L_2\):
      \[ \lambda=\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{3}\iff 3x-2y=-5\,. \]

  2. Plan \(\pi_2\) déterminé par \(d_{2}\) et \(A(-1,1,2)\).
    • \(d_2\) admet comme vecteur directeur \(\vec{v}_1(1,1,-1)\) qui est aussi vecteur directeur de \(\pi_2\).
    • \(d_2\) passe par \(Q(-1,0,0)\), donc \(\vec{u}_2=\overrightarrow{QA}\) de composantes \((0,1,2)\) est aussi directeur de \(\pi_2\).
    • D'où l'équation de \(\pi_2\)  \[ \pi_2\equiv \begin{vmatrix} x+1&1&0\\y&1&1\\z&-1&2 \end{vmatrix} \iff \pi_2\equiv \boxed{\ 3x-2y+z=-3\ }\,. \] En passant par les équations paramétriques: \[ \pi_2\equiv \left\{ \begin{array}{r c l c} x&=&-1+\lambda&(L_1)\\ y&=&\lambda+\mu&(L_2)\\ z&=&-\lambda+2\mu&(L_3) \end{array} \right. \] De \(L_1\), on tire \(\lambda=x+1\). En remplaçant dans \(L_2\) et \(L_3\): \( \begin{cases}y=x+1+\mu\\z=-x-1+2\mu\end{cases} \).
      D'où \(\mu=y-x-1\) et finalement \(z=-x-1+2(y-x-1)\iff 3x-2y+z=-3\), comme précédemment.

  3. Equation de la droite d'intersection de \(\pi_1\) et \(\pi_2\).
    L'équation de \(d=\pi_1\cap\pi_2\) est obtenue en formant le système dont les lignes sont les équations de \(\pi_1\) et \(\pi_2\) (facile!) : \[ d\equiv \left\{ \begin{array}{r c r c r c r c} 3x&-&2y&&&=&-5&(L_1)\\ 3x&-&2y&+&z&=&-3&(L_2) \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{r c r } 3x-2y&=&-5\\ z&=&2 \end{array} \right. \] Cette droite est parallèle au plan \(Oxy\) (droite "horizontale) et admet comme vecteur directeur \(\vec{t}(2,3,0)\).

    Un manière simple de trouver un vecteur directeur de \(d\), mais qui n'est valable qu'en repère orthonormé, est de calculer les composantes du produit vectoriel:
    \[ \vec{s}= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 0&0&1\\ 3&-2&0 \end{vmatrix} =2\cdot\vec{i}+3\vec{j}+0\cdot\vec{k} \] \(\vec{n}_1(3,-2,0)\) est normal à \(\pi_1\equiv 3x-2y=-5\) et \(\vec{n}_2(0,0,1)\) est normal au plan d'équation \(z=2\).
    Le vecteur \(\vec{s}=\vec{n_1}\wedge \vec{n_2}\) est alors orthogonal à \(\pi_1\) et à \(\pi_2\) et est donc directeur de \(d\).

Résolu le 21 janvier 2002. Modifié le 26 août 2004. Modifié le 20 septembre 2006 (Sabine Bouzette.) Modifié le 14 janvier 2016 (Hugues Vermeiren)