Géométrie analytique dans l'espace

EXGAE059

FSA, ULB, Bruxelles, septembre 2006

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Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé d'origine O  et d'axes x,y  et z.  On donne les points fixes M ( 0, b , c ), N ( a , 0 , c ) et P ( a , b , 0 ) où ab  et c  sont non nuls.

  1. Montrez que la longueur de chaque arête du tétraèdre de sommets O, M, N  et P  est égale à celle de l'arête opposée. Qu'en déduisez-vous au sujet des faces du tétraèdre ?
  2. Formez des équations cartésiennes des plans ONP  et MNP.  A quelle condition ces plans sont-ils perpendiculaires ?
  3. Formez des équations cartésiennes des droites OM  et PN.  A quelle condition ces droites sont-elles orthogonales ?
  4. Soient α, β, γ les plans contenant respectivement les droites OMONOP  et perpendiculaires respectivement aux plans ONPOMP  et OMN.  Montrez que ces plans passent par une même droite.
  5. Calculez le volume du tétraèdre OMNP

 
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Le 14 février 2007