Géométrie analytique dans l'espace

EXGAE061

POLYTECH - FPMS - Mons - Juillet 2006 - Série B

Exercice précédent Exercice suivant Liste des exercices de cette catégorie Liste des exercices. Page d'accueil Recherche sur ce site Plan du site

Dans le système orthonormé OXYZ, considérons 2 sphères : la 1ère, de centre O 1 [coordonnées ( 5, 15, 20 ) ] et de rayon R 1 = 5 et la Sde , de centre O 2 [ coordonnées ( 30, 20, 40 ) ] et de rayon R 2 = 15.
3 plans simultanément tangents à ces 2 sphères sont considérés : ils sont, tous trois, tels qu'ils coupent le plan OYZ  selon des droites verticales.

Le 1er, soit t1, est un plan extérieurement tangent aux 2 sphères. Comme il existe cependant 2 plans extérieurement tangents aux 2 sphères, une condition est imposée pour le choix de l'un d'entre eux : celui qui sera choisi coupe l'axe OY  selon la plus grande des 2 ordonnées des points d'intersection des 2 plans.

Les 2 autres plans sont les plans intérieurement tangents aux 2 sphères. Le plan dénommé " t2 " coupe l'axe des Y  selon la plus grande des 2 ordonnées des points d'intersection de l'axe OY  avec ces 2 plans intérieurement tangents. L'autre plan sera dénommé " t3 ".

  1. Déterminer les équations cartésiennes des plans t1, t2 et t3.
    [ Indication : le problème peut être résolu selon diverses méthodes, l'une de celles-ci fait appel à la formulation de calcul de la distance d'un point de coordonnées ( u, v ) à une droite d'équation ay + bx + c = 0, soit :
    distance point - droite = | ( av + bu + c ) / ( a 2 + b 2 ) 0. 5 |
    De toute façon, quelle que soit la méthode utilisée, il faut garder à l'esprit qu'un problème de géométrie spatiale peut, dans certains cas, se ramener à un problème de géométrie plane ]
  2. Proposer des équations paramétriques pour ces 3 plans


Nous reprenons la solution proposée par la faculté.
Voir : http://ressourcescms.fpms.ac.be/DocuWebFpms


  EXGAE061eq02.gif
                
EXGAE061gr01.gif
 
EXGAE061gr02.gif
  EXGAE061eq03.gif
  EXGAE061eq04.gif
  EXGAE061eq05.gif

 
EXGAE061gr03.gif


  EXGAE061eq06.gif
  EXGAE061eq07.gif
  EXGAE061eq08.gif
  EXGAE061eq09.gif
  EXGAE061eq10.gif

  EXGAE061eq11.gif
  EXGAE061eq12.gif

  EXGAE061eq13.gif

  EXGAE061eq14.gif
  EXGAE061eq15.gif
  EXGAE061eq16.gif

Le 30 juin 2007