Géométrie analytique dans l'espace

EXGAE063

POLYTECH - FPMS - Mons - Juillet 2006 - Série D

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Dans le système orthonormé OXYZ, considérons une sphère de centre C  dont les coordonnées sont C ( 20, 30, 20 ) et dont le rayon R = 10. Par le point A de coordonnées A ( 10, 10, 0 ), menons l'ensemble des tangentes ti  à la sphère : elles constituent un cône de révolution autour de l'axe AC  ; la base de ce cône est le petit cercle défini sur la sphère comme l'ensemble des points de contact Ti  des tangentes à la sphère.

  1. Par les méthodes de la Géométrie Analytique, déterminer les caractéristiques de ce cône ( rayon du cercle de base et hauteur du cône ? ) en réfléchissant au fait que, dans certains cas, un problème de géométrie spatiale peut se ramener à un problème de géométrie plane. Déterminer aussi l'équation cartésienne du plan b contenant la base de ce cône et les coordonnées ( X, Y, Z  ) du centre M  du cercle de base.
  2. Démontrer, par les méthodes de la Géométrie Synthétique, qu'un cône tangent à une sphère de rayon R  est tel qu'il existe entre le rayon r  de sa base, soit le cercle constitué des points de contact des tangentes à la sphère issues du sommet de ce cône, le rayon R  de la sphère et la hauteur h du cône, une relation :
    EXGAE063eq01.gif
    Contrôler ensuite qu'elle est vérifiée par les valeurs numériques déterminées en question 1°.
  3. Que vaut le rapport du volume du cône et du volume de la sphère ?


Nous reprenons la solution proposée par la faculté.
Voir : http://ressourcescms.fpms.ac.be/DocuWebFpms


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Le 30 juin 2007