Géométrie analytique dans l'espace

EXGAE065

POLYTECH - FPMS - Mons - Juillet 2006 - Série F

Dans le système orthonormé OXYZ,  soit 2 plans a et b verticaux. Le plan a passe par l'axe OZ  et par la droite m  dont les équations paramétriques sont [X = 5, Y = 30, Z = 5 + l ]. Le plan b est perpendiculaire au plan a et passe par le point B  de coordonnées B ( 30, 15, 15 ). Un point A,  d'abscisse XA  = 4 et de cote ZA  = 25 appartient au plan a.

1. Déterminer le point C  qui est simultanément :
   • équidistant des 2 plans b et a en précisant quelles sont les équations de ces plans ;
   • équidistant des 2 points A  et B ;
   • à distance imposée d  = 25 de l'origine O  du système d'axes OXYZ.
   A noter qu'il existe 2 entités géométriques distinctes qui sont les lieux possibles des points équidistants des 2 plans a et b : il sera fait choix ici de l'entité géométrique qui coupe l'axe OX  selon une abscisse positive. De plus, le point C  présentera une cote Z  positive.
2. A titre de contrôle des coordonnées du point C,  trouvées à l'issue de la question 1°, calculer les distances de C  à A  et B  et vérifier qu'elles sont égales entre elles, de C  aux 2 plans a et b et vérifier qu'elles sont égales entre elles, de C  à O  et vérifier qu'elle est égale à 25.
3. Soit 2 points P  et Q  appartenant à la droite m  : P  a comme cote ZP  = 60 et Q  a comme cote ZQ  = 45. Que vaut le volume du solide engendré par la rotation du triangle PQC  autour de la droite m  ?