Géométrie analytique dans l'espace

EXGAE129

POL, ERM, Bruxelles, 2012.

Exercice précédent Exercice suivant Liste des exercices de cette catégorie Liste des exercices. Page d'accueil Plan du site
EXGAE129eq01.gif



Solution proposée par Hugues Vermeiren

  1. Equation du plan \(\alpha\)
    Remarquons que les équations de \(d\) peuvent s'écrire plus simplement. En effet :

    \( \displaystyle \begin{array}{l c} \left\{ \begin{array}{r c r} 4x+2y+z&=&3\\ 6x+3y-z&=&2 \end{array} \right. & \\ & L_2\longleftarrow (3/2)L_1-L_2\\ \left\{ \begin{array}{r c r} 4x+2y+z&=&3\\ \dfrac52z&=&\dfrac52 \end{array} \right. & \\ \end{array} \)
    La droite \(d\) a donc aussi pour équations \( \displaystyle \left\{ \begin{array}{r c r} 4x+2y+z&=&3\\ z&=&1 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{r c r} 2x+y&=&1\\ z&=&1 \end{array} \right. \).
    C'est une droite parallèle au plan \(Oxy\).
    On cherche deux points sur \(d\)...

    Il y a plusieurs manières d'établir l'équation du plan \(\alpha\)...


  2. Aire du triangle \(ABC\)
    On sait que \(\overrightarrow{AB}\land\overrightarrow{AC}\) est un vecteur dont la norme est la mesure de l'aire du parallélogramme construit sur \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
    \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ont pour composantes respectives \( \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}\) et \( \begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\), donc \[ \overrightarrow{AB}\land\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&-1&2\\ 2&-1&1\\ \end{vmatrix}= \vec{i}+3\vec{j}+\vec{k} \] Ce vecteur est de norme \(\sqrt{11}\) et donc le triangle \(ABC\) a une aire égale à \(\dfrac12\,\sqrt{11}\).
    De manière plus artisanale et moins ésotérique... \[ \Vert \overrightarrow{AB}\Vert=\Vert \overrightarrow{AC}\Vert=\sqrt{6}\ \text{et}\ \Vert\overrightarrow{BC}\Vert=\sqrt{2}\,. \] Le triangle \(ABC\) est donc isocèle de sommet principal \(A\).
    Par Pythagore, la hauteur relative à \([BC]\) est \(h=\sqrt{6-\frac12}=\sqrt{\frac{11}{2}}\) et l'aire de \(ABC\) est \[ \mathcal{A}(ABC)=\frac12\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{11}{2}}=\frac12\,\sqrt{11}\,. \]


10 octobre 2015
Jacques Collot : URL : http://matheux.ovh/Accueil.html