Géométrie analytique plane

EXGAP102

POLYTECH, UMons, Mons, juillet 2006 - série B

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Dans un système d'axes orthonormé OXY,  soit une circonférence ( C 1 ) centrée en O  et de rayon R 1 = 30 et une seconde circonférence ( C 2 ) centrée en P  ( + 20, 20 ) et de rayon R 2 = 40. Ces 2 circonférences se coupent aux points I  et J  tels que l'ordonnée de J  est > 0 et que l'ordonnée de I est < 0. Soit un point K  de ( C 1 ) tel que son abscisse est positive et tel que son ordonnée = 10. Joignons I  à K  et J  à K  et prolongeons IK  et JK  jusqu'à leurs points d'intersection avec la circonférence ( C 2 ), dénommés respectivement " L  " et " M  ".

  1. Démontrer, par les méthodes de la Géométrie Synthétique, que la corde LM  de la circonférence ( C 2 ) est parallèle à la tangente à ( C 1 ) en K
  2. Démontrer, par les méthodes de la Géométrie Synthétique et de la Trigonométrie, que : EXGAP102eq01.gif
  3. Démontrer, par les méthodes de la Géométrie Synthétique, que le rapport des aires des triangles IJK  et KLM  est égal au carré du rapport des côtés IJ  et LM.
  4. Calculer, par les méthodes de la Géométrie Analytique, le rapport des aires des triangles IJK  et KLM,  en tenant compte de ce que : Aire du triangle IJK  / Aire du triangle KLM  = ( IJ  / LM  ) 2
  5. Déterminer les coordonnées des foyers de 2 ellipses dont la longueur ( 2 b  ) du petit axe, parallèle à OY,  vaut 20 pour les 2 ellipses et dont le rapport des aires est égal à 5 / 4 . La longueur ( 2 a  ) du grand axe de la plus petite des 2 ellipses vaut 30. Ecrire les équations de ces 2 ellipses sachant que la plus petite des 2 ellipses est centrée en un point U  de coordonnées ( + 10, 15 ) et la plus grande des 2 ellipses est centrée en un point W  ( 20, + 15 )


Nous reprenons la solution proposée par l'université (Sophie Born)

                
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20 mars 2007
Jacques Collot : URL : http://matheux.ovh/Accueil.html