Géométrie analytique plane

EXGAP103

FPMS, UMONS, Mons, juillet 2006 - série C

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1°. Dans un système d'axes OXY  orthonormé, une circonférence ( C 1 ) centrée à l'origine O  et de rayon R 1 = 20 est donnée, ainsi que 2 droites AB  et BC  [ Coordonnées de A  : ( 30, 0 ) ; Coordonnées de B  : ( 0, 50 ) ; Coordonnées de C  : ( 50, 0 ) ].
Par les méthodes de la Géométrie Synthétique, construire une circonférence ( C 2 ) de centre P,  de rayon R 2 = 5, tangente à la fois à la droite AB  et à la circonférence ( C 1 ) et telle qu'elle ne traverse pas l'axe OX,  puis une circonférence ( C 3 ) de centre Q,  de rayon R 3 = 10, tangente à la fois à la droite BC  et à la circonférence ( C 1 ) et telle qu'elle ne traverse pas l'axe OX.
Construire enfin une circonférence ( C 4 ) de centre R,  de rayon R 4 = 2.5, tangente à la fois aux 2 circonférences ( C 2 ) et ( C 3 ) et telle que son centre R  soit au-dessus du segment PQ.

2°. Soit E  et F  les points de contact de ( C 2 ) avec, respectivement, ( C 1 ) et AB  et soit I  et J  les points de contact de ( C 3 ) avec, respectivement, ( C 1 ) et BC. La tangente commune à ( C 1 ) et à ( C 2 ) en E  coupe AB  en H  et la tangente commune à ( C 1 ) et à ( C 3 ) en I  coupe BC  en L.
La droite OP  coupe AB  en G  et la droite OQ  coupe BC  en K.
Joignons H  à P  et L  à Q.
Exprimer, par les méthodes de la Géométrie Synthétique, la somme des angles EXGAP103eq01.gif et EXGAP103eq02.gif en fonction des angles EXGAP103eq03.gif .

3°. Par les méthodes de la Géométrie Analytique, déterminer les équations de ( C 2 ) ou ( C 3 ) [ au choix ] et de ( C 4 ) [ Pour déterminer C 4, la connaissance préalable des coordonnées des centres P  et Q  de C 2 et de C 3 est indispensable : selon que vous aurez fait choix de la détermination de C 2 ou de C 3, l'Interrogateur vous fournira les coordonnées de Q ou de P : n'hésitez pas à en faire la demande à l'Interrogateur ! ]



Nous reprenons la solution proposée par l'université (Sophie Born).

                
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20 mars 2007
Jacques Collot : URL : http://matheux.ovh/Accueil.html