Géométrie analytique plane

EXGAP105

POLYTECH, UMons, Mons, juillet 2006 - série E

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Dans un système d'axes orthonormé OXY,  considérons une circonférence de centre O  et de rayon R  et appelons C  le point variable qui parcourt cette circonférence. Appelons aussi " A " le point d'intersection fixe (d'abscisse négative) de l'axe OX  et de cette circonférence et " B "; le point d'intersection fixe (d'abscisse positive) de cet axe OX  avec cette même circonférence.

  1. Par les méthodes de la Géométrie Synthétique (et par les relations trigonométriques du triangle rectangle), déterminer ce que valent la somme et la valeur absolue de la différence des segments AC  et OC  en fonction de l'angle α ( = EXGAP105eq01.gif ) et du rayon R.
  2. Traçons la tangente à la circonférence en C  et appelons " D " et " E " les intersections de cette tangente avec, respectivement, les axes OX  et OYP  est le pied de la perpendiculaire abaissée de C  sur OX.
  3. Pour quelle valeur α i  de l'angle α les côtés du triangle OCE  sont-ils proportionnels aux côtés du triangle ACP  (AP  proportionnel à CECP  proportionnel à COAC  proportionnel à OE ) et que vaut ce rapport de proportionnalité, exprimé en fonction de cet angle α i  ?
  4. Hors de toute considération trigonométrique, démontrer par la seule Géométrie Synthétique que l'un des 2 angles formés par la tangente à la circonférence en C  et par la corde AC  vaut toujours la moitié de l'angle EXGAP105eq02.gif .
  5. Pour une valeur α k  moitié de la valeur particulière α i  de l'angle α déterminée en question 2° et pour R  = 40 , que valent la somme S  et la valeur absolue D  de la différence des segments AC  et OC  ?
  6. Par les méthodes de la Géométrie Analytique, établir le lieu des points dont la somme des distances aux points A  et O  vaut S  ( S  déterminé en question 4° ) et le lieu des points dont la valeur absolue de la différence des distances aux points A  et O  vaut D  ( D  déterminé en question 4° ).


Nous reprenons la solution proposée par l'université (Sophie Born).

                
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20 mars 2007
Jacques Collot : URL : http://matheux.ovh/Accueil.html