Géométrie analytique plane

EXGAP106

POLYTECH, UMons, Mons, juillet 2006 - série F

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Dans le système orthonormé OXY,  considérons un triangle ABC,  rectangle en A  et tel que A  est confondu avec l'origine OB  a comme coordonnées (a, 0) et C  a comme coordonnées (0, b ) [ N.B. a  > 0, b  > 0 ].
Par un point quelconque D  situé sur OX,  entre A  et B,  menons une parallèle à OY  qui coupe BC  en E.  La longueur du segment DE  est dénommée " h  ". Par le point E,  menons une parallèle à OX  qui coupe AC  en F.
Par ce point F,  menons une perpendiculaire à BC  qui coupe BC  en G  et le prolongement ( vers la gauche ) de AB  en H.

  1. Par les méthodes de la Géométrie Synthétique, déterminer quelle relation h  = f  ( a, b ) il faut imposer pour que l'aire du triangle AFH  soit égale à celle du triangle EFG.  Appliquer ensuite cette relation pour déterminer la valeur numérique de h  répondant à la condition posée quand a  = 10 et b  = 8. Calculer alors la valeur commune des aires de ces 2 triangles.
  2. Une circonférence (C 1) passe par les points A, F  et G  et une autre circonférence (C 2) passe par les points H, A  et G.  Par les éthodes de la Géométrie Synthétique, démontrer que le rapport k  de l'aire de la circonférence (C 1) à celle de (C 2) ne dépend pas de h  mais du rapport ( a  / b ).
  3. Par les méthodes de la Géométrie Analytique, dans le cas où a  = 10, b  = 8 et h  = 3. 5, déterminer l'équation de l'hyperbole dont le centre est le point E,  dont les axes sont parallèles à OX  et à OY,  dont l'un des sommets est confondu avec le point F  et dont les asymptotes font entre elles le même angle que les 2 tangentes en G  aux 2 circonférences (C 1) et (C 2) . [ N.B. " F  " ne désigne pas ici l'un des foyers de l'hyperbole ].


Nous reprenons la solution proposée par l'université (Sophie Born).

                
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20 mars 2007
Jacques Collot : URL : http://matheux.ovh/Accueil.html