Géométrie analytique plane

EXGAP116

POLYTECH, UMOns, Mons, juillet 2007, série B

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1. Le triangle ABC,  rectangle en A,  est tel que | AB | = 4 et | AC | = 3.
Le point P  est le milieu de AB,  le point Q  est le pied de la perpendiculaire abaissée de P  sur BC.
Par les Méthodes de la Géométrie Synthétique, déterminer la longueur de | AQ |.

2. Par les Méthodes de la Géométrie Synthétique, démontrer que
" 1°. Si, des milieux P  et U  des 2 côtés AB  et AC  de l'angle droit d'un triangle ABC  rectangle en A,  on abaisse les perpendiculaires PQ  et UV  à son hypoténuse, les segments ainsi déterminés sur cette hypoténuse et qui ont comme extrémités les pieds de ces perpendiculaires et les extrémités de cette hypoténuse qui en sont les plus proches sont dans un rapport égal à l'inverse du rapport des carrés des côtés de l'angle droit aboutissant à ces extrémités : CV / BQ = AC 2 / AB 2 .
2° . La distance séparant les pieds des ces 2 perpendiculaires vaut la moitié de l'hypoténuse.
3°. De plus, les longueurs de ces 2 perpendiculaires sont égales .".

3. Soit une conique d'équation : 4 X 2Y 2 – 8 X – 4 Y – 16 = 0
Déterminer de quelle conique il s'agit. Déterminer les coordonnées de son centre, de ses sommets et de ses foyers. Indiquer tout autre élément susceptible de caractériser la conique.
Si on considère un triangle OABO  étant l'origine du système OXYAB  étant parallèle à OX,  sa hauteur issue de O  étant variable, A  et B  étant 2 points de la conique, établir la loi de variation de l'angle AOB  et indiquer quelle est sa valeur minimum.




Solution proposée par l'université : Prof. Dr. ir Y. DURAND
Voir http://portail.umons.ac.be/FR/universite/facultes/fpms/Pages/default.aspx

                 Question 1 [ Source de l'énoncé : Mme le Professeur Cl. FESTRAETS, Société Belge des Professeurs de Mathématiques d'expression française ]

SOLUTION N° 1
 
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SOLUTION N° 2 ( VARIANTE )

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SOLUTION N° 3 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 4 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 5 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 6 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 7 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 8 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 9 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 10 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 11 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 12 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 13 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 14 ( VARIANTE )

 
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SOLUTION N° 15 ( VARIANTE )

 
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Question 2

SOLUTION N° 1
 
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SOLUTION N° 2 ( VARIANTE )

 
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Question 2

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Le 25 mars 08.

Jacques Collot : URL : http://matheux.ovh/Accueil.html