Géométrie synthétique dans l'espace

EXGSE037

POLYTECH, UMons, Mons - Questions posées entre 1995 et 1998

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Soit une sphère S 1 et un plan extérieur à cette sphère. On construit une sphère S 2, tangente à la fois au plan a  et à la sphère S 1.
Démontrez que la droite qui joint les points de contact de S 1 avec S 2 et de S 2 avec a  passe par l'une des extrémités du diamètre de la sphère perpendiculaire au plan a.



EXGSE037gr001.gif

Soient O1 et O2 les centres respectifs des sphères S1 et S2. Travaillons dans le plan contenant la droite O1O2 et perpendiculaire au plan a.
Appelons A  et B  les points de contact de S2 avec S1 et de S2 avec a.
Appelons Y  le pied de la perpendiculaire abaissée de O1 au plan a  et X  le point de percée de cette droite dans la sphère S1.
La droite A1Y  est parallèle à O2B , car ces deux droites sont perpendiculaires au plan a.
Par suite, l'angle XO1A  est égal à AO2B  et les triangles XO1A  et AO2B  sont semblables (une angle égal et leurs deux côtés adjacents sont proportionnels).

EXGSE037eq01.gif

(R  et r  étant les rayons respectifs des sphères S1 et S2)
Il en résulte que les angles XAO1 et O2AB  sont égaux et que X  est sur le prolongement de AB.

Jacques Collot : URL : http://matheux.ovh/Accueil.html