Géométrie synthétique dans l'espace

EXGSE038

POLYTECH, UMons, Mons - Questions posées entre 1995 et 1998

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Soit p 1 et p 2 deux plans de l'espace qui ne sont pas perpendiculaires entre eux. Soit dans le plan p 1, un carré ABCD  que l'on projette orthogonalement sur p 2 A 'B 'C 'D '.
Déterminer quelles conditions imposées pour que

  1. A 'B 'C 'D ' soit un losange 
  2. A 'B 'C 'D ' soit un rectangle 
  3. A 'B 'C 'D ' soit un carré 
  4. A 'B 'C 'D ' soit un parallélogramme 


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On sait que pour qu'un angle droit se conserve par projection orthogonale sur un plan, il faut qu'un de ses côtés soit parallèle à ce plan.

a) Les diagonales d'un losange A 'B 'C 'D ' sont perpendiculaires entre elles, d'où la condition A 'C ' parallèle à p 1 cas de la première figure ou D 'B ' est parallèle à p 1.

b) Les côtés d'un rectangle sont perpendiculaires entre eux. D'où la condition A 'D ' (B 'C ') parallèle à p 1 (cas de la seconde figure) ou A 'B ' (D 'C ') parallèle à p 1.

c) Pour un carré, une des diagonales et l'un des côtés doivent être parallèles à p 1. Par conséquent, le plan p 2 est parallèle à p 1.

d) Les côtés d'un parallélogramme sont parallèles 2 à 2 et leurs angles ne sont pas droits (troisième figure).
Les plans ADD 'A ' et BCC 'B ' sont parallèles entre eux.
Les plans ABB 'A ' et DCC 'D ' sont parallèles entre eux. Les plans ADD 'A ' et BCC 'B ' sont coupés par p 2 selon 2 parallèles A 'D ' et B 'C ' qui ne sont pas parallèles à p 1.
Les plans ABB 'A ' et DCC 'D ' sont coupés par p 2 selon 2 parallèles A 'B ' et D 'C ' qui ne sont pas parallèles à p 1.
Il n'y a donc pas de conditions particulières à imposer.



Jacques Collot : URL : http://matheux.ovh/Accueil.html