Géométrie synthétique dans l'espace

EXGSE075

FACSA, ULiège, Liège,septembre 2006

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On considère un tétraèdre ABCD  dont la base BCD  est équilatérale, et tel que la droite déterminée par A  est le centre de gravité de cette base est perpendiculaire au plan BCD.
Soit P  un point intérieur au triangle BCD, et π et π' deux plans s'appuyant sur la droite AP  et respectivement parallèles aux droites BC  et BD.  Les plans π et π' rencontrent l'arête [ C,D ] en deux points respectifs Q  et R . Les distances du point P  aux arêtes [ B,C ], [ B,D ] et [ C,D ] sont respectivement dénotées α , β et γ. La longueur de l'arête [ B,C ] est dénotée δ .

  1. Montrer que le triangle PQR  est équilatéral
  2. Exprimer la longueur d'un côté du triangle PQR  en fonction de α , β et δ .
  3. Montrer que la valeur α + β + γ ne dépend pas de la position de P.
  4. En déduire que la somme des distances de P  aux quatre faces du tétraèdre ABCD  est indépendante de P.


                
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Le 28 décembre 2006
Jacques Collot : URL : http://matheux.ovh/Accueil.html