Géométrie synthétique plane

EXGSP078

Louvain - Juille 2003, série 2

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Par un point fixe O  de l'hypoténuse BC  du triangle rectangle ABC  passe une sécante quelconque qui rencontre la droite AB  en D  et la droite AC  en E. Les triangles OBD  et OCE  sont inscrits dans deux cercles qui se rencontrent en M
On vous demande:

  1. De déterminer le lieu du point M  en expliquant clairement votre raisonnement.
  2. De représenter le lieu sur un dessin précis.



EXGSP078gr001.gif


EXGSP078eq01.gif

EXGSP078gr002.gif
Compléments (Voir figure 3)

Le point M  est particulier.
Prenons un triangle quelconque ABC  (et non plus un triangle rectangle).
Les cercles déterminés par ABC , ADE , BDO  et CEO  sont concourants au point M  appelé point de Miquel.
De plus, les centres de tous ces cercles et le point M  sont cocycliques et se trouvent sur le cercle de Miquel.
EXGSP078gr003.gif
Voir par exemple : La géométrie du triangle. Yvonne et René Sortais. Hermann 2002

Résolu le 24 juin 2004. Modifié le 21 août 2004