Géométrie synthétique plane

EXGSP093

FPMs, Mons - juillet 2005

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Soit ABC  un triangle. Appelons H  le pied, sur AB,  de la hauteur issue de C.
Construisons alors le I  symétrique du point H  par rapport à AC  et le point J,  symétrique de H  par rapport à BC.  La droite IH  coupe AC  en P  et la droite JH  coupe BC  en Q  et traçons le segment PQ.
Traçons aussi le segment IJ  qui coupe AC  en M  et BC  en N.
Démontrez que les points C, J, B, H  et M  sont sur une même circonférence (On démontrerait de la même façon que C, I, A, H  et N  sont sur une même circonférence, différente toutefois de la précédente)

Note : Cet exercice est couplé avec EXGAP084




EXGSP093gr01.gif


EXGSP093eq01.gif


Note : Le triangle HMN  est le triangle orthique du triangle ABCIJ  est égale au périmètre du triangle orthique. Pour rappel, on démontre que les hauteurs de ABC  sont les bissectrices du triangle orthique, et que le triangle orthique est le triangle inscrit au triangle ABC  dont le périmètre est minimal
Issu le 8 août 2005.