L'équation est symétrique : en permutant \(\sin x\) et \(\cos x\), on ne modifie pas l'équation.
Le ''truc'' avec ce type d'équation est de poser \(x=y+\frac{\pi}{4}\). On a alors:
-
\(\cos x=\cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(\cos y+\sin y) \)
-
\(\sin x=\sin\left(y+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(\cos y-\sin y) \)
Et donc en additionnant et en multipliant membre à membre:
\(\displaystyle\quad
\cos x+\sin x =\sqrt{2}\cdot\cos y\quad\text{et}\quad \cos x\cdot\cos y=\frac12\cdot\left(\cos^2y-\sin^2y\right)
\)
Les solutions d'une équation symétriques peuvent toujours être groupées par paires d'angles complémentaires.
L'équation s'écrit alors, si \(x\ne k\frac{\pi}{2}\):
\[
\begin{align}
\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}=2\sqrt{6}&\iff \cos x+\sin x=2\sqrt{6}\cdot \sin x \cos x\\
&\iff \sqrt{2}\cos y=2\sqrt{6}\cdot\frac12\left(\cos^2y-\sin^2y\right)\\
&\iff \cos y=\sqrt{3}\left(2\cos^2y-1\right)\\
&\iff 2\sqrt{3}\cos^2y-\cos y-\sqrt{3}=0\\
&\iff \cos y =\frac{\sqrt{3}}{2}\ \text{ ou }\ \cos y=\frac{-\sqrt{3}}{3}\\
&\iff x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\ \text{ ou }\ x=\pm\arccos\left(-\sqrt{3}/3\right)+\frac{\pi}{4}
\end{align}
\]
En notant \(\alpha=\arccos\left(-\sqrt{3}/3\right)\approx 2,186\), les solutions sont finalement:
\[
x=\frac{\pi}{12}+2k\pi\quad,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\quad,\quad x=\pm\alpha+\frac{\pi}{4}+2k\pi\ .
\]
Les solutions principales en degrés sont
\[
x_1=15^\circ\quad,\quad x_2=75^\circ\quad,\quad x_3\approx 170,26^\circ\quad\text{et}\quad x_4\approx 279,74^\circ\ .
\]
On a bien
\(x_1+x_2=90^\circ\) et \(x_3+x_4=450^\circ\)
:
\(x_1\) et \(x_2\) sont complémentaires ainsi que \(x_3\) et \(x_4\).
Remarque : le graphe est donné à titre indicatif. Une résolution avec machine graphique n'est pas acceptée.
