Trigonométrie

EXTRI359

FACSA, ULG, Liège, juillet 2012.

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Solution proposée par Hugues VERMEIREN

Solution  

L'équation est symétrique : en permutant \(\sin x\) et \(\cos x\), on ne modifie pas l'équation.

Le ''truc'' avec ce type d'équation est de poser \(x=y+\frac{\pi}{4}\). On a alors:

Et donc en additionnant et en multipliant membre à membre:
\(\displaystyle\quad \cos x+\sin x =\sqrt{2}\cdot\cos y\quad\text{et}\quad \cos x\cdot\cos y=\frac12\cdot\left(\cos^2y-\sin^2y\right) \)

Les solutions d'une équation symétriques peuvent toujours être groupées par paires d'angles complémentaires.


L'équation s'écrit alors, si \(x\ne k\frac{\pi}{2}\): \[ \begin{align} \frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}=2\sqrt{6}&\iff \cos x+\sin x=2\sqrt{6}\cdot \sin x \cos x\\ &\iff \sqrt{2}\cos y=2\sqrt{6}\cdot\frac12\left(\cos^2y-\sin^2y\right)\\ &\iff \cos y=\sqrt{3}\left(2\cos^2y-1\right)\\ &\iff 2\sqrt{3}\cos^2y-\cos y-\sqrt{3}=0\\ &\iff \cos y =\frac{\sqrt{3}}{2}\ \text{ ou }\ \cos y=\frac{-\sqrt{3}}{3}\\ &\iff x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{4}\ \text{ ou }\ x=\pm\arccos\left(-\sqrt{3}/3\right)+\frac{\pi}{4} \end{align} \] En notant \(\alpha=\arccos\left(-\sqrt{3}/3\right)\approx 2,186\), les solutions sont finalement: \[ x=\frac{\pi}{12}+2k\pi\quad,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\quad,\quad x=\pm\alpha+\frac{\pi}{4}+2k\pi\ . \] Les solutions principales en degrés sont \[ x_1=15^\circ\quad,\quad x_2=75^\circ\quad,\quad x_3\approx 170,26^\circ\quad\text{et}\quad x_4\approx 279,74^\circ\ . \]

On a bien   \(x_1+x_2=90^\circ\) et \(x_3+x_4=450^\circ\) : \(x_1\) et \(x_2\) sont complémentaires ainsi que \(x_3\) et \(x_4\).



Solution proposée par Jacques COLLOT

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Remarque : le graphe est donné à titre indicatif. Une résolution avec machine graphique n'est pas acceptée.

Le 15 octobre 2013. Modifié le 04 mai 2018 (Hugues Vermeiren)